Planar web geometry and differential equations
Géométrie des tissus du plan et équations différentielles
Abstract
Let $\mathcal{W}(d)$ be a non singular planar $d$-web, implicitly presented by a differential equation $F$ and let $(E,\nabla)$ be the connection associated to $F$. New invariants are updated ; In particular, we show that $(E,\nabla)$ is entirely determined by a fondamental $1$-form and the linearization polynome. We notice that the connection gives informations about the linearization of the web. Studying the trace of the curvature, we show that the determinant bundle of $(E,\nabla)$ is isomorphic to the tensor product of the line bundles associated to extracted $3$-webs. We then give a generalisation of Thomsen's construction of the hexagon, related to the trace. We also give an explicit way of determination of the rank of any $d$-web $\mathcal{W}(d)$. Some well known results in web geometry are proven and we indicate some new perspectives, in particular for the study of exceptional webs.
Soit $\mathcal{W}(d)$ un $d$-tissu non singulier du plan implicitement présenté par une équation différentielle $F(x,y,y')=0$, et de connexion associée $(E,\nabla)$. De nouveaux invariants de $\mathcal{W}(d)$ sont mis à jour ; en particulier, on montre que $(E,\nabla)$ est entièrement déterminé par la connaissance d'une $1$-forme fondamentale et du polynôme de linéarisation du tissu.\esp Nous indiquons également comment la courbure de la connexion rend compte de la linéarisation du tissu. En étudiant la trace de la courbure de la connexion, on montre que le fibré déterminant de $(E,\nabla)$ est isomorphe au produit tensoriel des fibrés en droites associés aux $3$-tissus extraits. Nous donnons ensuite une caractérisation géométrique des tissus de trace nulle, en généralisant la construction de l'hexagone de Thomsen. En outre, on présente un procédé explicite de détermination du rang de $\mathcal{W}(d)$ pour $d$ quelconque, à partir des seuls coefficients de $F$. En application, nous retrouvons des résultats connus en géométrie des tissus, et indiquons des perspectives nouvelles, notamment pour l'étude des tissus exceptionnels.